二重根号
目標
- 二重根号が何かがわかる
- 二重根号の外し方がわかる
- どんなときに二重根号が外せるかがわかる
解の公式で解いてみる
\begin{align} 1. \quad& \sqrt{ 2 }x^2 -3x+\sqrt{ 2 }=0 \\ 2. \quad& -x^2 -2x +(3+2\sqrt{ 3 })=0 \\3. \quad & x^2 -2x-\sqrt{ 2 }=0 \end{align}
1番
\begin{align}x & = \dfrac{3\pm \sqrt{ 3^2-4\cdot \sqrt{ 2 }\cdot\sqrt{ 2 } }}{2\sqrt{ 2 }}\\&=\dfrac{3\pm1}{2\sqrt{ 2 }} \\&=\dfrac{\sqrt{ 2 }\cdot(3\pm1)}{\sqrt{ 2 }\cdot2\sqrt{ 2 }}\\&=\dfrac{\sqrt{ 2 }\cdot(3\pm1)}{4}\\&=\dfrac{\sqrt{ 2 }}{2},\sqrt{ 2 }\end{align}
※たすき掛けも可能
2番
\begin{align}x&=1\pm\sqrt{ 1+3+2\sqrt{ 3 } }\\ &=1\pm \sqrt{ 4+2\sqrt{ 3 } }\end{align}
3番
二重根号
のような形が二重根号
- 分母のは有理化で解消できた(今回はあまり関係ないけど…)
- の中のはどうする？処理できる？
根号が外せたとき
\begin{align}\sqrt{ 9 } & =\sqrt{ 3^2 }=3\\\sqrt{ 16 } & =\sqrt{ 4^2 }=4\end{align}
→の形なら良さそう
このときは…？
こうしよう
\begin{align}\sqrt{ 4+2\sqrt{ 3 } }&=\sqrt{ (3+1)+(2\cdot \sqrt{ 3 }\cdot \sqrt{ 1 } }\\ &=\sqrt{ 3 + 2\cdot \sqrt{ 3 }\cdot \sqrt{ 1 }+1 }\\&= \sqrt{ (\sqrt{ 3 }+\sqrt{ 1 })^2 }\\ &=|\sqrt{ 3 }+1|\\&=\sqrt{ 3 }+1\end{align}
二重根号を外す
\begin{align}\sqrt{ a+2\sqrt{ b } }&=\sqrt{ x^2+y^2 +2\cdot\sqrt{ x }\cdot \sqrt{ y }}\\&=\sqrt{ x^2+2\cdot \sqrt{ x }\cdot \sqrt{ y }+y^2 }\\&=\sqrt{ (\sqrt{ x }+\sqrt{ y })^2 }\\&=|\sqrt{ x }+\sqrt{ y }|\end{align}
足して前、かけて後ろ！
\begin{align}1. \quad& \sqrt{ 7+2\sqrt{ 10 } } \\2. \quad&\sqrt{ 4-2\sqrt{ 3 } } \\3. \quad& \sqrt{ 5+\sqrt{ 21 } }\end{align}
2: 引かれている場合はどうする？
3: の形ではないのをどうする？
ところで………
↑これはどうする？
→この場合は解消できない
じゃあどうする？ || 近似しちゃう ||
→→いつなら解消できるの？？
となる条件を考える
証明に使う文字
- : 有理数
- : 有理数(ただしは無理数)
- : 有理数
- : 有理数
- : 有理数
ところで………
に触れてなくない？