20260601_1

20260525_1

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• コンデンサはハイパス特性、コイルではローパス特性を持つ
• 抵抗の電流$I_R=\frac{E}{R}$
• コイルの電流$I_L=\frac{E}{j\omega L}=-\frac{j}{\omega L}E$
• コンデンサの電流$I_C=j\omega CE$

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共振回路

• 色んなところに使うらしい

直列共振回路と並列共振回路

コイルとコンデンサを直列接続したときの合成インピーダンスは
$Z=j\omega L+\frac{1}{j\omega C}=j\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)$
で表せる。このとき$Z=0$になるのは
$\omega =\frac{1}{\sqrt{LC}}$のとき

コイルとコンデンサを並列接続した回路の合成アドミタンスは
$Y=j\omega C+\frac{1}{j\omega L}=j\left(\omega C-\frac{1}{\omega L}\right)$
で表せる。このとき$Y=0$になるのは
$\omega =\frac{1}{\sqrt{LC}}$のとき

インピーダンスやアドミタンスがゼロになる状態: 共振

共振を起こすときの周波数が共振周波数、共振するときな角周波数は共振角周波数${\omega }_0$

$${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}⟹f_0=\frac{{\omega }_0}{2\pi }=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$$

インピーダンスのリアクタンス成分$\omega L-\frac{1}{\omega C}$がゼロになるとき抵抗が最小になる
$\tan {\varphi }_Z=\frac{\omega L-\frac{1}{\omega C}}{R}$

共振角周波数${\omega }_0$を境にして、インピーダンスは

• $\omega ={\omega }_0$なら偏角はゼロに、$E$と$I=I_0$は同位相
• $\omega >{\omega }_0$：誘導性（コイルが優勢）、電流は電圧に対して遅れ位相
• $\omega <{\omega }_0$：容量性（コンデンサが優勢）、電流は電圧に対して進み位相
• $R=\left|\omega L-\frac{1}{\omega C}\right|$のとき$\omega ={\omega }_1,{\omega }_2$、${\varphi }_Z=\pm \frac{\pi }{4}$、$|Z|=\sqrt{2}R$（半電力点）

共振回路のQ

共振の度合いを表す

$$\begin{array}{rl}Q& =\frac{{\omega }_0}{{\omega }_2-{\omega }_1}({\omega }_1<{\omega }_0<{\omega }_2)\end{array}$$

$R=\left|\omega L-\frac{1}{poC}\right|$のとき、$\omega ={\omega }_1,{\omega }_2$であり、
$R=\pm (\omega L-\frac{1}{\omega C})$を$\omega$について解いて$\omega >0$となる解を求める
$\left(\begin{array}{c}{\omega }_1\\ {\omega }_2\end{array}\right)=\frac{\mp R+\sqrt{R^2+\frac{4L}{C}}}{2L}$

これを代入して$Q=\frac{{\omega }_{0}L}{R}=\frac{1}{{\omega }_{0}CR}$
$Q=\frac{{\omega }_{0}L}{R}=\frac{2\pi }{T}\frac{L}{R}\frac{I_0^2}{I_0^2}=\frac{\frac{2\pi L{I}_0^2}{2}}{\frac{TR{I}_0^2}{2}}=\frac{2\pi W_L}{W_R}$
ここで、$W_L$は$L$に蓄積されるエネルギー
$W_R$は$R$に蓄積されるエネルギー

サセプタンスと共振アドミタンス

直列共振回路と並列共振回路の比較

>

>| 項目             | 直列共振                  | 並列共振                  |
>|------------------|---------------------------|---------------------------|
>| 共振時インピーダンス | 最小 ($Z = R$)           | 最大 ($Z = \infty$)      |
>| 電流               | 最大                      | 最小                      |
>| QとRの関係        | $R$小さい → $Q$大きい     | $R$小さい → $Q$小さい   |
>| 位相（$\omega_0$） | 同相                      | 同相                      |
>| 損失の傾向        | $R$小 → 損失小            | $R$小 → 損失大            |
>
>直列は電流が大きく流れる「低インピーダンス共振」、並列は電流が抑えられる「高インピーダンス共振」

共振回路の応用例

ゲルマニウムラジオ(可変コイルを用いる)

graph TD
A[アンテナ]-->B[同調回路]
B-->C[検波回路]
C-->D[イヤフォン]

RLC並列共振回路

電源電圧$E$のRLC並列回路のアドミタンス$Y$は、
$Y=\frac{1}{R}+j\left(\omega C-\frac{1}{\omega L}\right)$
となる。ここで、$Y$の大きさ$|Y|$と偏角${\varphi }_Y$は以下のようになる。
$|Y|=\sqrt{{\left(\frac{1}{R}\right)}^2+{\left(\omega C-\frac{1}{\omega L}\right)}^2}$
$\tan {\varphi }_Y=\frac{\omega C-\frac{1}{\omega L}}{1/R}$

また、電流$I$は次式となる。
$I=\frac{E}{Y}=E\left(\frac{1}{R}+j\left(\omega C-\frac{1}{\omega L}\right)\right)$

式において、サセプタンス成分$B$が$B=0$となるとき、つまり、$\omega$が${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$であるとき、電流$I$は最小値$I_0$となり、
$I_0=\frac{E}{R}$

つまり、共振周波数${\omega }_0$を境にして、アドミタンス（$Y=G+jB$）の性質が次のように変化する。

• $\omega ={\omega }_0$：$G=1/R$、$B=0$、${\varphi }_Y=0$、$E$と$I$は同相
• $\omega >{\omega }_0$：$B>0$、${\varphi }_Y>0$、$I$は$E$より位相は進む
• $\omega <{\omega }_0$：$B<0$、${\varphi }_Y<0$、$I$は$E$より位相は遅れる
• $\frac{1}{R}=\left|\omega C-\frac{1}{\omega L}\right|$ のとき $\omega ={\omega }_1,{\omega }_2$、${\varphi }_Y=\pm \frac{\pi }{4}$、$|Y|=\sqrt{2}/R$

RLC並列回路における電流$I$の角周波数特性は、抵抗$R$の大きさにより損失（消費エネルギー）も変化する。

• 抵抗$R$が小さい（$R_{small}$）場合 → 抵抗による損失が大きい
• 抵抗$R$が大きい（$R_{large}$）場合 → 抵抗による損失が小さい

並列共振では直列と逆で、$R$が小さいほどQが小さくなる

共振回路によって受信したい信号だけを切り抜いてラジオの選局などを行う

→ゲルマニウムラジオには電源がない

Qの大きい同調回路を使うと精度よく選曲が可能