20260422_1

20260415_1

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量化子の定義は連続性とかで見るといいらしい

$\forall xA$をほぐすと$\to$が出てくることに留意

多重量化

述語論理の本領発揮らしい

$Rxy$: $x$は$y$のことが好きだということにする

$\forall x\exists yRxy$: すべての人$x$にたいして$x$は$y$のことが好きであるような$y$が存在する($y$は$x$依存であってもよい、may depend)
$\exists y\forall xRxy$ : ある固定された$y$が存在して、すべての人$x$に好かれている(より強い主張、$y$は$x$依存ではない、fixed)

見た目は似ているが状況が大きく違っている、これを量化子の順番で表現している

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どの学生も何かしら授業を履修している

$Sx$: $x$は学生である
$Rxy$ : $x$は$y$を履修している
$Jy$: $y$は授業である

すべての$x$について、$x$が学生であるならば、$x$は何かしら授業を履修している

$$\begin{array}{rl}\forall x(& Sx\to xは何かしら授業を履修している)\\ \forall x(& Sx\to \exists y(Jy\wedge Rxy))\end{array}$$

どの学生も履修しているような授業がある

～ような授業があるの形式

$\exists y(Jy\wedge すべての学生がyを履修している)$

すべての学生が$y$を履修している: $\forall x(Sx\to Rxy)$

どの学生も履修しているような授業がある$\exists y(Jy\wedge \forall x(Sx\to Rxy))$

$Sx$: $x$は議員である
$Qy$: $y$は法案である
$Rxy$: $x$は$y$に賛成している

$\exists x(Px\wedge \forall y(Qy\to \neg Rxy))$ ある議員はすべての法案に反対している
$\neg \exists x(Sx\wedge \forall y(Qy\to Rxy))$ すべての法案に賛成している議員はいない
$\exists y(Qy\wedge \forall x(Sx\to Rxy))$ すべての議員が判定している議案がある
$\neg \forall x\forall y(Qy\to (Sx\to Rxy))$ どの法案もすべての議員が賛成しているとは限らない

$\exists (Fx\wedge \forall y(Fy\to x=y))$
による唯一性の証明

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述語論理の定義

形式言語は語彙と文法が明確に決まっている

自然言語は語彙や文法が変化する

述語論理の形式言語

論理記号

$\neg ,\to ,\wedge ,\vee$

量化子

$\forall ,\exists$

個体変項

$x,y,z,\dots$

個体定項

$a,b,c,\dots$

述語記号

$P,Q,R,\dots ,P_1,P_2$

矛盾記号

$\perp$

括弧

$()$

論理式

1. $P$が$n$項述語で、$t_1,\dots ,t_n$が個体変項や個体定項なら$P{t}_1\dots tn$は(原子)論理式で、原子論理式は論理式。
2. 矛盾記号は論理式
3. $A$が論理式なら$(\neg A)$も論理式
4. $A,B$が論理式なら$(A\wedge B),(A\vee B),(A\to B)$も論理式
5. $A$が論理式で、$x$が個体変項なら、$(\forall xA),(\exists xA)$はそれぞれ論理式
6. 以上のみが論理式

無限の論理引きを有限の規則で生成できるのがポイント(再帰的/帰納的定義)

1,2が基底、それ以外はこれまでに認められた論理式を組み合わせる規則

論理式や形式的証明、自然数は再帰的に定義できる

一番外の括弧は省略、括弧なしの状態であれば$(\forall ,\exists ,\neg )\to (\wedge ,\vee )\to (\to )$の順に強い

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意味論

妥当な推論の特徴づけをしたい

そのための「真」や「状況」といったような概念を定義したい

タルスキの意味論(1930-)/真理条件意味論

意味論の原則

真理条件意味論

命題の意味はその真理条件である

真理条件: ニュアンスなどは意味としてカウントされない、人間が理解できるかどうかはあまり問題ではない

二値原理

あらゆる命題は真か偽のいずれかである(わかるかどうかはあまり問題ではない)

→ファジー理論などはここでは考えない

合成原理

複雑な論理式の真理値はその部分の真理値のみによって決まる($A\wedge B$の真理値は$A$の真理値と$B$の真理値によって決まる)

どれも自明ではないらしい

$A$	$B$	$A\wedge B$
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	F

$A$	$B$	$A\vee B$
T	T	T
T	F	T
F	T	T
F	F	F

$A$	$\neg A$
T	F
F	T

$A,B$には任意の論理式が当てはまる
二値原理や合成原理に従っている
$\forall$と$\wedge$、$\exists$と$\wedge$の類似性