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今日でだいたい真理条件意味論が終わりらしい

命題論理は真理表で(手間はかかるものの)表現できた
命題論理を表現するためにはモデル(byタルスキ)が必要

• 数理論理学
  • モデル論
  • 照明論
  • 計算論
  • 集合論

だいたいこの授業で扱うのは上の二つ(モデル論の数理的なところとは違うかも)

$\forall$と$\exists$を扱いたい
ベン図は小さい範囲でしか動かせない

モデル$M_0$で論理式$A$が真になるとき$M_0\models A$

モデル${\mathcal{M}}_2$
$D=\{1,2,3,4\}$
$I(F)=\{1,3\}$
$I(G)=\{2,4\}$
$I(H)=\{1,2,3\}$

ここで、$\exists x(Gx\wedge Hx)$は真
$\neg \exists x(Fx\wedge \neg Hx)$は真

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充足可能性

いままではモデルと論理式が与えられていた(モデル検査)

ここからは論理式の集まりを与えられたときにそれを満たすモデルをつくる(モデル構成)

充足可能

論理式の集合$A_1\dots A_n$が充足可能なのはそれらすべてを真にするモデルが存在するとき

a. $Fa$
b. $\neg Fb$
c. $Gb$
d. $\exists x(Fx\wedge Gx)$

を充足するモデルを考える

1. $a,b$があるので$D=\{0,1\}$として、$I(a)=0,I(b)=1$とする。
2. aから$0\in I(F)$である必要がある
3. cから$1\in I(G)$であるはず
4. dから0,1のいずれかが$I(F),I(G)$に入っている必要がある
5. bからそれは0になる

よって、求めるモデルは

$D=\{0,1\}$
$I_a=0,I(b)=1$
$I(F)=\{0\},I(G)=\{0,1\}$

モデル構成によって推論の妥当性を判断することが可能

妥当な場合

• 前提がすべて真なあらゆるモデルで⋀論も真

妥当でない場合

• 全体がすべて真であるが結論が偽であるようなモデルが存在する

→モデル構成は反例を見つけて妥当でない推論を見つけるのに向いている

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$R_{xy}$のような2項述語のモデルを定義したい

$D=\{バッハ,ベートーベン,ブラームス\}$
$I(a)=バッハ,I(b)=ベートーベン,I(c)=ブラームス$
$I(R)=\{<バッハ,\beta ーベン>,<ベートーベン,ブラームス>,<バッハ,ブラームス>\}$

$M_0\models R_{ab}$は$<I(a),I(b)>\in I(R)$より成り立つ。逆は成り立たない。

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多重量化の場合は、
$\forall y\exists x{F}_{xy}$で個体領域$D$のすべての要素に対して$\exists x{F}_{xy}$が成立していることを要求する

推移律、反射律、推移律を満たすと同値関係

少なくとも一つ存在する$\exists xFx$ではなくちょうど一つ存在する$\exists x(Fx\wedge \forall y(Fy\to x=y))$

少なくとも二つ存在する$\exists x\exists y(Fx\wedge Fy\wedge \neg (x=y))$とちょうど二つ存在する$\exists x\exists y((Fx\wedge Fy\wedge x\ne y)\wedge \forall w(Fw(w=x\vee w=y)))$