「1ずらす」パターンのまとめ

確率論の講義で、平均や分散を求めるときに 「指数や添え字を1ずらして整理する」 という処理が何度も出てくる。これは離散でも連続でも同じ原理で使われている。

---

離散型：二項分布（6/19）

平均 $E[X]$ の計算

$$\begin{array}{rl}E[X]& =\sum _{x=0}^{n}x\cdot \frac{n!}{x!(n-x)!}{p}^x(1-p{)}^{n-x}\\ & =\sum _{x=1}^n\frac{n!}{(x-1)!(n-x)!}{p}^x(1-p{)}^{n-x}(x=0\text{の項は0なので省略、}x/x!=1/(x-1)!)\\ & =np\sum _{x=1}^n\frac{(n-1)!}{(x-1)!\{(n-1)-(x-1)\}!}{p}^{x-1}(1-p{)}^{(n-1)-(x-1)}(n!=n(n-1)!,p^x=p{p}^{x-1})\\ & =np\cdot (p+(1-p){)}^{n-1}=np\end{array}$$

ポイント：$\frac{x}{x!}=\frac{1}{(x-1)!}$ と約分することで、シグマの添え字が $x\to x-1$ にずれる。すると中身が「$n-1$回の二項分布の全確率の和=1」になる。

$E[X(X-1)]$ の計算

$$\begin{array}{rl}E[X(X-1)]& =\sum _{x=2}^n\frac{x(x-1)n!}{x!(n-x)!}{p}^x(1-p{)}^{n-x}(x=0,1\text{は}x(x-1)=0\text{なので省略})\\ & =\sum _{x=2}^n\frac{n!}{(x-2)!(n-x)!}{p}^x(1-p{)}^{n-x}(x(x-1)/x!=1/(x-2)!)\\ & =n(n-1)p^2\end{array}$$

ポイント：$\frac{x(x-1)}{x!}=\frac{1}{(x-2)!}$ で 2つずらす。すると「$n-2$回の二項分布」が現れる。

共通のテクニック

操作	結果
$x/x!=1/(x-1)!$	添え字が1つずれる → $n-1$ の問題に帰着
$x(x-1)/x!=1/(x-2)!$	添え字が2つずれる → $n-2$ の問題に帰着
外に出した $n,p$ は「元の分布のパラメータを消費」

---

離散型：幾何分布（6/26）

平均 $E[X]$ の計算

$$E[X]=\sum _{x=1}^{\infty }x\cdot (1-p{)}^{x-1}\cdot p$$

$x(1-p{)}^{x-1}$ は等比級数 $\sum (1-p{)}^x$ の微分に相当：

$$\frac{d}{d(1-p)}\sum _{x=0}^{\infty }(1-p{)}^x=\sum _{x=1}^{\infty }x(1-p{)}^{x-1}$$

ポイント：冪乗を1つ減らす（=微分する）ことで、既知の級数の公式に持ち込む。これも「1ずらす」の一種。

---

連続型：指数分布（7/3）

平均 $E[X]$ の計算

$$E[X]={\int }_0^{\infty }x\cdot \lambda e^{-\lambda x}dx$$

部分積分で $x$ を消すと、指数が1上がる：

$$=[-x{e}^{-\lambda x}{]}_0^{\infty }+\frac{1}{\lambda }{\int }_0^{\infty }\lambda e^{-\lambda x}dx=\frac{1}{\lambda }$$

モーメント母関数から

$$M_X(t)=\frac{\lambda }{\lambda -t}\Rightarrow M_X^{\prime }(t)=\frac{\lambda }{(\lambda -t{)}^2}\Rightarrow M_X^{\prime \prime }(t)=\frac{2\lambda }{(\lambda -t{)}^3}$$

ポイント：微分するたびに分母の指数が1上がる（$1\to 2\to 3$）。$t=0$ を代入すると ${\lambda }^{-(\text{指数})}$ になる。

---

連続型：ガンマ分布（7/3）

平均 $E[X]$ の計算

$$E[X]={\int }_0^{\infty }x\cdot \frac{x^{\alpha -1}}{\Gamma (\alpha ){\beta }^{\alpha }}{e}^{-x/\beta }dx=\frac{1}{\Gamma (\alpha ){\beta }^{\alpha }}{\int }_0^{\infty }{x}^{\alpha }{e}^{-x/\beta }dx$$

$x\cdot x^{\alpha -1}=x^{\alpha }$ で指数が1上がる。置換積分でガンマ関数の形にすると：

$$=\frac{{\beta }^{\alpha +1}\Gamma (\alpha +1)}{\Gamma (\alpha ){\beta }^{\alpha }}=\frac{\beta \Gamma (\alpha +1)}{\Gamma (\alpha )}$$

ここで $\Gamma (\alpha +1)=\alpha \Gamma (\alpha )$ で1段階下げて整理：

$$=\frac{\beta \cdot \alpha \Gamma (\alpha )}{\Gamma (\alpha )}=\alpha \beta$$

$k$ 次モーメント

$$E[X^k]=\frac{\Gamma (\alpha +k)}{\Gamma (\alpha )}{\beta }^k$$

ポイント：$x^k$ を掛ける → 指数が $k$ 上がる → $\Gamma (\alpha +k)$ になる → $\Gamma (\alpha +1)=\alpha \Gamma (\alpha )$ を $k$ 回繰り返して下げる。

---

なぜこのパターンが普遍的なのか

$$\boxed{\text{「冪乗を掛ける」}=\text{「指数を1上げる」}=\text{「ガンマ関数で1段階上の階乗を使う」}}$$

処理	離散（和）	連続（積分）
冪乗を1つ減らす	$x/x!=1/(x-1)!$ → 添え字ずれ	部分積分 → 指数が上がる
既知の形に持ち込む	全確率の和=1 或いは等比級数	ガンマ関数の全確率=1
整理する	二項係数を再構成	$\Gamma (\alpha +1)=\alpha \Gamma (\alpha )$

---

テストで使うときの-checklist

1. 平均を求める → $x$（或いは $x^k$）を掛けて指数を上げる
2. ガンマ関数の形に変形する（置換積分 or 級数の公式）
3. $\Gamma (\alpha +1)=\alpha \Gamma (\alpha )$ で known な形に戻す
4. 全確率=1 や二項定理を利用して最終計算