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標本空間と事象

確率を数学的に扱うためにいくつか必要な定義をする

確率法則

不確かな事象が起きる際に従う法則

• このさいころはイカサマ？そうじゃない？
• コイントスなど

標本空間

確率を付与する空間$X$、$\Omega$など

• 確率法則が支配する空間=集合
  • コインなら2面$X=\{表,裏\}$
  • コイン2枚なら$X=\{(表,表),(表,裏),(裏,表),(裏,裏)\}$
  • コイン投げ2回で表の出る回数$X=\{0,1,2\}$
  • さいころ投げ1回$X=\{1,2,3,4,5,6\}$
  • 天気:$X=\{\dots ？\}$
  • 気温$X=\{-273.15以上のすべての実数\}$
  • 成績$X=\{秀,優,良,可,不可\}$
  • GPA$X=\{a\in \mathbb{R}|0\le a\le 4\}$
  • トランプ、麻雀、パチンコetc…

ギャンブルとの関係性

事象

標本空間の部分集合、確率は事象に対して付与できる。確率を与えることのできない部分集合は事象でない

• 標本空間$\Omega$や表本店を持たない空集合$\varphi$も事象の一つ
• ある事象$A$に対して$A^C$は$A$が起きないことを刺し、$\bar{A}$ともかく(補事象,余事象)
• $A\cup B$: 和事象$A\cap B$: 積事象
• $A\cap B$が$\varphi$のときが排反

事象の算法

• $(A\cup B{)}^C=A^C\cap B^C$(ドモルガン)
• $(A\cap B{)}^C=A^C\cup B^C$(ドモルガン)
• $(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)$
• $(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$
• $(A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup (B\cap C)$
• $(A\cap B)\cup C=(A\cup C)\cap (A\cup C)$

確率

事象の起きやすさを表す量

$A$が起きる確率は$P(A)$

事象の確率

習合関数としての確率$P(\cdot )$や$Pr[\cdot ]$を用いる

$P(明日に雨が降ることを満たす天気全体の部分集合)=Pr[明日に雨が降る]$

加法族

$\mathcal{A}$のすべての要素が$S$の部分集合であり、$\mathcal{A}$が合併(OR)、交叉(AND)、補演算($A^C$に対応)の三つの集合演算について閉じているとき、$\mathcal{A}$を集合$S$の上に定められた加法族という

コルモゴロフの公理(再度)

標本空間$X$について標本空間の上の加法族を$\mathcal{A}$とする。

加法族への数字の与え方を確率と呼ぶには

1. 任意の事象$A\in \mathcal{A}$について$0\le Pr[A]{\le }_1$
2. 任意の事象$A,B\in \mathcal{A}$について、$A\cap B=\varphi$なら$Pr[A\cup B]=Pr[A]+Pr[B]$
3. $Pr[X]=1$

である必要がある

古典的な確率

$\frac{事{象}_Aの標本点の個数}{標本空間の点の数}$
→事象が同じ確からしさで起こり、排反であることが前提

経験的な確率

$P(A)={\lim }_{試行回数\to \infty }\left(\frac{試行を繰り返し結果Aとなった回数}{試行回数}\right)$
→実験や観察事実を用いる

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独立性と従属性

条件付確率

ある事象$A$が起きたという条件の下で別の事象$B$が起こる確率。$P(B|A)$または$P_A(B)$で表現

$$P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$$

ある事象$A$が起きたたという条件の下で→確率空間を$\Omega$から$A$に制限すること

事象$B$が起こる確率$P(B)$も、全事象$\Omega$に対する条件付確率といえる

標本空間のユークリッド空間への埋め込み

乗法法則

$$P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}\iff P(A\cap B)=P(A)P(B|A)$$

条件付確率の定義の分母を払うことから

加法法則

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$

独立/従属

$$P(B|A)=P(B)$$

なとき、$A$と$B$は互いに独立

ベイズの定理

ベイズの定理

互いに排反な事象$B_1,\dots ,B_k$は

$$B_1\cup \cdots \cup B_k=\Omega$$

を満たすとし、任意の事象$A$に対して$P(A)\ne 0$とする。

このとき

$$P(B_i|A)=\frac{P(A\cap B_i)}{P(A)}=\frac{P(B_i)P(A|B_i)}{{\Sigma }_{i=1}^{k}P(B_i)}$$

証明

$$\begin{array}{rl}P(A)& =P(A\cap \Omega )\\ & =P(A\cap (B_1\cup \dots B_k))\end{array}$$