20260508_3

20260424_3

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モーメントの話もしてくれるらしい

• 一次のやつの式
• $k=2$での平均周りのモーメント=分散(ばらつき)

平均/分散/歪度(左右の偏り)/尖度(裾の重さ)

二乗の期待値≠期待値の二乗

モーメントは期待値からも書ける

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モーメントとモーメント母関数は全然別物

$k$階微分したら$k$次のモーメントが出てくるのがモーメント母関数

モーメント母関数が同じなら確率分布は同じ/モーメント母関数が違っても$t=0$ですべて同じなら確率分布は同じ

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二次元の確率分布

コイン２枚とか、さいころを複数ことか、アンケートが複数問あるとか
(二つ以上の組み合わせを見るときに多次元の確率になる)

	1	2以上
確率変数	確率変数	確率ベクトル
確率関数	1変数	多変数
確率密度関数
累積分布関数
１次のモーメント	平均	平均ベクトル
２次のモーメント	文さん	分散共分散行列
		共分散
		相関係数
	独立	従属か考える必要
		ダミー変数

同時に観測するときに次元が増える
この時の確率変数の組$(X_1,X_2)$を確率ベクトル$X$とする

組合せ→同時確率分布

一部を制限する→条件付確率分布

一部を無視する→周辺確率分布

独立性/従属性

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同次累積確率

$(X_1,X_2)$がそれぞれ$x_1,x_0$以下になる確率

同次累積分布関数に

$F_1(x_1)=Pr[X_1\le x_1]$
${\lim }_{x_2\to \infty }{F}_{1,2}(x_1,x_2)$

確率関数(離散型)

一番大きい範囲を求めてから引き、引きすぎたぶんは足す

同次確率関数

$$f_{12}=(x_1,x_2)=\frac{{\partial }^2}{\partial x_1\partial x_2}{F}_{12}(x_1{x}_2)$$

独立/従属

• 同時確率が周辺確率の積
• 条件付確率が周辺確率と変わらない

確率変数が独立だと、重積分や重総和の計算が楽になる

従属であることを示すには独立性の条件のすべてが成り立たないこと

条件付分散: 条件つき確率の分散($x_1$を固定したときの$x_2$の分散みたいな)