20260515_3

20260508_3

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同時分布のモーメント

$$m_{12}^{(k_1,k_2)}=E_{12}[X_1^{k_1}{X}_2^{k_2}]=\{\begin{array}{l}{\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }{x}_1^{k_1}{x}_2^{k_2}{f}_{12}(x_1,x_2)d{x}_{1}d{x}_2\\ {\sum }_{x_1=-\infty }^{\infty }{\sum }_{x_2=-\infty }^{\infty }{x}_1^{k_1}{x}_2^{k_2}{p}_{12}(x_1,x_2)\end{array}$$

$k_1=0$や$k_2=0$で同時モーメントは周辺モーメントに等しい

$k_1+k_2=1$となる同時モーメントを並べたベクトルを平均ベクトル$\mu$で表す

同時分布もおおよそ同様

共分散

• 平均は${\mu }_j=E_{12}[X_j],j=1,2$
• 分散は${\sigma }_j^2=V_{12}[X_j],j=1,2$

$k_1,k_2$が(1,1)のときにどうなるか→共分散$E_{12}[(X_1-{\mu }_1)(X_2-{\mu }_2)]$
共分散は$Co{v}_{12}$や単に$C$で書く

共分散は二本のベクトルから生まれる長方形の符号付き面積の期待値

符号と絶対値で点の出やすい象限と原点からの距離が予想できる

共分散は

$$Co{v}_{12}=E_{12}[X_1{X}_2]-E_1[X_1]E_2[X_2]$$

共分散を$\sigma =\sqrt{V_{12}[X_1]V_{12}[X_2]}$で割ると大きさが正規化できる
先に$X_1-{\mu }_1$を$\sigma$で割ってもいい

• 相関係数は-1~1
• $X_1,X_2$が独立なら0
• 相関係数が0でも$X_1,X_2$が独立とは限らない
  ↑
  この辺の証明は試験に出ないらしい

相関係数は直線状に並ぶかどうかを表すので、傾きは異なっても相関は1になる(さすがに真横は違うかも)

いくらきれいに並んでいても、対称形の散布図なら相関係数はゼロ

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和の分布

和をとった平均はそのまま足しても問題ない

$$E[X_1+X_2]=\int \int (x_1+x_2)f(x)d{x}_{1}d{x}_2=\int \int s_{1}f(x)d{x}_{1}d{x}_2+\int \int x_{2}f(x)d{x}_{1}d{x}_2=E[X_1]+E[X_2]$$

和の分散はそれぞれの分散に共分散の2倍を足す

\begin{array} V[X_{1}+X_{2}]= & E[\{(X_{1}+X_{2})\}] \end{array}

ex)二つのサイコロの出目の和の分布
→わが同じになるペアの確率の総和を求める

確率変数$Y=X_1+X_2$の分布

離散型

$$p(y)=\sum _{u=-\infty }^{\infty }p(u,y-u)$$

独立な場合は

$$p_Y(y)=\sum _{x=-\infty }^{\infty }{p}_1(x)p_2(y-x)$$

周辺確率のモーメント母関数は

$$M_Y(t)=\sum _{y=-\infty }^{\infty }{e}^{ty}{p}_y(y)=M_{X_1}(t)M_{X_2}(t)$$

連続型

$$f(y)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(u,y-u)du$$

これは、$x_1+x_2$が一定の値になる部分についての積分

確率変数が複数あったら

• まずは周辺分布が気になる
  • それぞれの確率変数の分布は？
  • それぞれの確率変数の周辺分布なので、1次元として扱える
  • 周辺累積分布関数/周辺確率密度関数/周辺確率関数
  • 周辺確率
  • 周辺モーメント
  • 周辺モーメント母関数
• 二つの組み合わせも気になる
  • 二つの確率関数の組み合わせの同時分布は？
  • 1次元に帰着できない
  • 条件付き同時分布なども
  • 同時○○シリーズ
• 三つ以上なら…？(やらない)