講義メモ

20260825_1-4

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  • 基本的には秀か優で単位を出します←やったね
  • 課題はある、2週間くらい猶予はあるらしい
  • 模擬授業あるらしい(20分授業、10分質疑)、テーマは高校の単元(任意)
  • 3日目の午後~4日めくらい
  • 評価法はガニエの9教授事象
  • 元々は幾何学でその後数学教育学に、今は情報系
  • 教員採用試験の模擬授業は5分くらい

論理的な思考の仕方

  • 中学のほうでは教授法が特に大切だけど、高校では内容のほうが重視されるべき
  • 教授内容学が中心

数直線の読み取り問題

  • 区間 を6つの区間（目盛り）で表す
  • 端の と、4つめの目盛り の2か所だけラベルが書かれている
  • 「5つめの目盛りの値は？」と聞く問題
  • 本来は が1区間で、そこからさらに1区間進むので正解は
  • これを としてしまう人が結構いる（全体を だと早合点して6等分してしまう）
\begin{tikzpicture}[x=4cm, y=1cm, font=\small]
  % 本線: 0 から 3/2 まで (= 6区間)
  \draw[thick] (0,0) -- (1.5,0);
  % 6つの区切り（0〜6）の目盛り
  \foreach \i in {0,1,2,3,4,5,6} {
    \draw (\i/4,0.05) -- (\i/4,-0.05);
  }
  % ラベル: 端の0 と 4つめの1 だけ書く
  \node[below] at (0,-0.12) {$0$};
  \node[below] at (1,-0.12) {$1$};
  % 5つめの目盛り（i=5, 値=5/4）に矢印
  \draw[->, thick, blue] (5/4,0.55) -- (5/4,0.1);
  \node[above, blue] at (5/4,0.6) {$\uparrow\;\frac{5}{4}$};
  % 右端の 3/2 の補助表示（薄く）
  \node[below, gray] at (1.5,-0.12) {$\frac{3}{2}$};
\end{tikzpicture}

思考実験

地球がまったいらだったら水平線は見えるのか？

海面上の先を見るということは無限回繰り返せる　ゼノン
でも真上を見たらそらしかないし下を見たら海しかないんだからどこかには境目があるのでは？　中間値の定理

ところで、水平線はあるのか？
→水平線は実在しないけど見える(空と海の色が違う場合)

まったいらな地球に放物線を書いて見たらどうなる？

放物線と楕円と双曲線を球面に置いたらどうなる？

数学や論理的思考の得意な生徒が身に着けている習慣にはどんなものがある？

  • どこでどんな根拠を使っているのかを常に意識している
    • 直感に理由がある

論理的に思考するということは根拠を意識すること、とする

できない子はなんでできなかったのか？

  • 直感で処理してきた

これは有限であればEの方が多いが、無限であれば同じ濃度になる
でも、直感的にはNの方が多い気がする

直感が効かなくなると思考のパッケージ化を促すことになる
教員による類題主義や再テスト補修や宿題はパッケージ化を促進した可能性はある
→パターンを抑えるとうまく行くように設計されている

根拠がはっきりしているということがきちんとわかるということでは？

どうやって論理的な思考を身に着けてもらう？

  1. 頭の中だけで解決する体験
    思考実験
  2. 人を説得する体験
    地球が本当に球体なのかを問うたりするのは難しいとか
  3. 公理を選定する
    なんで？を突き詰めるときりがないから途中で打ち切って公理とする
    系を決める、ユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学とかの状態かどうかを決めるとか
  4. 根拠を明示するルールを決める
   graph LR
   A[公理1]-->B[定理1]
   C[公理2]-->D[定理2]
   D[公理3]-->E[問題]
   B-->D
   F[公理4]-->E

論理を図で示すと循環論法を検出できる

三角形の内角の和が180度であることを示すのに内部の点を使って
\begin{align}三角形の内角の和 &= 3\times(三角形の内角の和) - 内部の点の周りの角度(360°) \\ 三角形の内角の和 - 3\times(三角形の内角の和) &= -360° \\ 2\times(三角形の内角の和) &= 360° \\ 三角形の内角の和 &= 180°\end{align}

とかは循環論法

  1. 「正しさ」の原理を理解する
    前提がなければ正しさはない
    ユークリッド空間と非ユークリッド空間では結論が変わる
  2. 日本語を正しく使う
    とか
    二義文とか
    ならばの否定とか

教育法として

人生は決断の連続
→決断の基準となる価値観を提供する

  • 自分を受け入れてくれる心
  • 自分の言うことを聴いてくれる耳
  • 自分に分かるように言ってくれるロ
  • 自分に微笑みかけ，関心をもってくれる顔
  • 自分の苦しみを分かち，力づけてくれる手

子どもがこれらを私たちから見出したとき， 私たちの教育は可能になる

指導法に関して

  • 教える技術
    • 行動分析、認知心理
  • 授業デザイン力
    • インストラクショナルデザイン
  • クラス運営力
    • 臨床心理

物理数学の直観的方法

ガニエの9教授事象

  1. 学習者の注意を惹く(ふだんと違うことをするとか)
  2. 学習の目標を知らせる(何のために何をしているのかを明らかにする)
  3. すでに学んだことを思い出させる
  4. 新しい学習内容を提示する
  5. 学習のやり方を説明する
  6. 練習をさせる
  7. フィードバックを与える
  8. 学習成果を評価する(保護者とかにもフィードバックが必要)
  9. 他の場面にも活かせるように促す

日本のカリキュラムの特徴として内容は高度だが苦手意識や応用が難しいというのもある

ケラーのARCS動機づけモデル

Attention
Relevance
Confidence
Satisfication

高校では学力層がある程度固まっているから教え方のウエイトは比較的低く、内容のほうが重要

数学教育の有用性

  • 実用性
    • 実生活で直接役立っている例
  • 陶冶性(とうやせい)
    • 人間形成や知的能力育成
  • 文化性
    • 文化としての継承

学習指導要領では能率性や正確性などの人間形成や機能的類推的な知的能力の醸成が期待されている

実質陶冶(内容そのものの習得)と形式陶冶(転移する能力)

数学は形式陶冶的価値が高いと考えられている
→数学を勉強すると頭が良くなる？

推理力や判断力などが学習内容を忘れ去ったあとも判断して残りた分野に転移するか？

そもそもソーンダイクはそんなこといったのか？
日本に入ってきたのは大正時代

学習指導要領には法的拘束力がある
→全国どこでも同じレベルの教育を受けられるようにするため

叱られないと勉強しない、の対偶

→勉強したら叱られる？

叱られないと勉強しないを言い換える

  • 勉強しているのは叱られたあとだ
  • 勉強しているのは叱られたからだ

基本的に数学では時間関係や因果関係を対象にしない、時間だったとしても実数に置き換えられる

を微積分せずに解く(の直線との位置関係を見る、線形計画法っぽい)

グラフビュー

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