20260826

模擬授業どんな感じでやるのか

ガエニの9教授事象
目標は必要
導入じゃなくてもいい
- 50分を20分に圧縮するというよりも20分ぶんを取り出すイメージ、導入だけとか展開だけとか
- 演習は含めてもいいが３分クッキング形式
数学的内容の正しさ
- 間違えたら謝るとかフォローを入れるとか
目標と授業内容の整合性
発問が妥当なものか
- 単に「わかった？」みたいなことよりも工夫すべき
発問に対して想定される応答、それに対する対応

授業の前提となるデザインや流れを意識する

テクニックよりは内容にフォーカス

場面指導(特定の場面を想定して指導をやるやつ)

区分求積と積分

縦×横の総和を求めた区分求積から積分の基本定理につなぐ

$y = x^{2}$ と $x = 1$ 、 $x$ 軸で囲まれた部分の面積

$lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} (\frac{k}{n})^{2} \frac{1}{n}$

あくまで $Σ$ の中での変数は $k$ だから $n$ は $Σ$ の外に

n \to \infty lim k = 1 \sum n (\frac{k}{n})^{2} \frac{1}{n} = n \to \infty lim \frac{1}{n ^{3}} k = 1 \sum n k^{2} = n \to \infty lim \frac{1}{n ^{3}} \cdot \frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1) = n \to \infty lim \frac{1}{6} \frac{n}{n} (\frac{n}{n} + \frac{1}{n}) (\frac{2 n}{n} + \frac{1}{n}) = \frac{1}{6} \cdot 1 \cdot 1 \cdot 2 = \frac{1}{3}

中心 $O$ 、半径 $a$ の円を底面とする円柱で、 $O$ を通って $6 0^{\circ}$ の角を作る面で切り取った部分の体積

V = \int_{0}^{π} \frac{3}{2} a^{2} sin^{2} θ d θ

↑
これではまずい、平面に対して積分の方向があっていない(面積は縦に切っているのに対して円弧の方向に積分している)

どうしても $d θ$ するなら四角錐に分割する

曲線の長さや曲面の面積ではより重要になる

高校の場合は曲線の長差について媒介変数を使って処理する

d s l = (d x)^{2} + (d y)^{2} = \int_{a}^{b} d s = \int_{a}^{b} (d x)^{2} + (d y)^{2} = \int_{a}^{b} (\frac{d x}{d t})^{2} + (\frac{d y}{d t})^{2} d t

空気抵抗は即ｄに比例するものとして、春雨はしとしとと、夕立はざあざあ降ることを説明せよ

直線上の運動で $F = ma$ から $\frac{1}{2} m v_{2}^{2} - \frac{1}{2} m v_{1}^{2} = \int_{x_{1}}^{x_{2}} F d x$ を求める

斜行座標をベクトルに持っていくとか

座標系の変換と一次変換

新たにやったことをどういうふうに付加価値として持たせるか

宇宙の存在を仮定せずに地球が球体であることを示せるか？
→ここから宇宙の中にいるのに宇宙の形もわかるのでは？

マイナス三次元は作れるか？

$\Leftrightarrow$ の使用に身長になるべき

距離とは?
マンハッタン距離とユークリッド距離

包括線/包絡点

$(x - a)^{2} + y^{2} = 1$ みたいなやつに対して
包絡線はこれらすべてに接する線

$y = a (x - 1)$ みたいなやつに対して
包絡点は必ずそこを通るという点

$x^{2} + (a - 2) x - 3 a + 1 = 0$ の解のうち１つだけが $0 < x < 2$ を満たす $a$ の条件

普通にやるなら判別式、中心線を使って範囲を絞り込む

(a がない項) x^{2} - 2 x + 1 = (a がある項) = a (x + 3)

{y y = x^{2} - 2 x + 1 = (x - 1^{2}) = a (x + 3)

下の式は包絡点(-3,0)を持つ

$a \in R, l_{a} : y = a x - a^{2}$ のときの $l_{a}$ の軌跡

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講義メモ