20260413_2

• 小テスト: 主, レポート: 従
• 三回のテストは難易度上昇有
• コロナの時のZoomの録画が使用可能

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• 計算機って何？
• 用途では定義しにくい
• HW(ハードウェア)とSW(ソフトウェア)の組み合わせのシステム
• SWは入れ替えや書き換えが簡単
• どうやってソフトウェアをハードウェアで動作させるの？ということを学ぶ
  • 機械語
  • 命令コード（アーキテクチャ回り）
  • どうやってプログラムは動作する？
  • アセンブリの動作

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• 6週、10週、期末にレポートがありそう
• レポートとテストで合計3回

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• $N$進数の符号なし表現

graph LR
A[計算機で連続値を扱うのは難しい] --> B[離散値を使用]
C[$N$進数であればよく2進数であるのは単に扱いやすいため] --> B

• 2進数の1桁→1bit

基数表記法（いつもの）

$B$種類の数字を利用
隣あう桁の比は$B$
$N_{k-1}\dots N_1{N}_0$($N_i$は$i$桁め、0桁目からスタート)を用いて
$N_{k-1}\times B^{k-1}+\cdots +N_1\times B^1+N_0+B^0$

例えば漢数字やローマ数字は基数表記法に沿わない記数法の一つ

基数表記法の約束

• 最上位の桁(ビット)
  • MSD(Most Significant Digit)
  • MSB(~Bit)

Significant Disit=有効数字
2進数100のMSBは答えられず、4bitの2進数100のMSBは0(0100)

• 最下位の桁(ビット)
  • LSD(Least Significant ~)
  • LSB(~Bit)

単に10と書いても$10_2$なのか$10_8$なのか$(10{)}_{16}$なのかわからないので必要によっては明示する、0x10みたいな解決法もアリ

• 小数を表す場合は$N_{-1}\times B^{-1}$のような拡張

10進数を $B$進数に変換するなら

$(N_{k-1}\dots N_1{N}_0{)}_{10}\to (M_{m-1}\dots M_1{M}_0{)}_B$
10進数を$B$で割ったときの余りを順に並べていくと$M_i$を得られる

小数の場合は？

10進数に$B$をかけて整数部に出てきた値を小数部が0になるまで並べる

• $0.1_{10}$はちゃんと2進数として扱えない→そのまま計算すると誤差が出てたいへん
• 2と16は桁を分割するだけだから簡単
  • 8も
  • $2^n$はどれもそう
    それはそう
• 循環小数が解消できたりできなかったりする

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負の数の表現

mindmap
負数の表現
	符号付き絶対値
	補数
		1の補数
		2の補数

• 符号付きではハードの構成が複雑になりやすい
• 補数を用いると$X-Y$を$X+(-Y)$にして加算だけで減算を実現できる

補数(complement)

• 補数の補数は元の数
  • $B$の補数（真補数/2進法なら2の補数）
  • $B-1$の補数（疑補数/2進法なら1の補数）
    補数を混ぜてはいけない

2の補数

• 各ビットを反転して1を加算
• 桁数の指定がないといけない
• MSBが1の時に負とする
• もう一回bit反転して1足すと元の数を見ることも可能

真補数の定義

$B$進数$n$桁の数$X(\ge 0)$と$Y(\ge 0)$が$X+Y=B^n$であるとき、$Y$は$X$の真補数($B$の補数)であるという。

$X$の真補数$Y=B^n-X$
$Y$の真補数$=B^n(B^n-X)=X$
→$X+Y=0$とできれば$X$の真補数$Y$は$-X$に相当するのであふれた一桁を無視すると減算がうまくいく

→この際には正負の数の切れ目を勝手に定めることができ、2真ならMSBで半分に分けられるのでそうする場合が多い