20260424

確率の関数表現

集合関数 $P$ 、 $A \subset X$ について

P (A) = P r [X \in A]

事象 $A$ が起こる確率は確率変数 $X$ が $A$ に含まれる確率

$P (A \cup B) = P (A \ B) + P (B \ A) + P (B \cap A)$

↑面倒

累積分布関数 $F (a) = P r [X \in x : - \infty < x \leq a]$
確率変数 $X$ が $a$ 以下の値をとる確率

これは集合関数だが、右側の端点のみを与えればよいため実数関数として扱える

累積分布関数を微分する

累積分布関数が数直線上の $a$ で連続な時、その点での導関数が確率密度関数
$f : 任意の x : - \infty < x \leq a \in X$ について

f (a) = \frac{d}{d x} F (x) ∣_{x = a} f (x) = \frac{d}{d x} F (x)

離散的な確率は微分ができない
→右極限と左極限の差をとる
確率関数

p (a) p (x) = x \to + a lim F (x) - x \to - a lim = P r [X = a] = P r [X - x]

累積分布関数が標本空間上のすべての点と連続なら確率関数はすべての点で0

$p (a) > 0$ となるのは点 $a$ で累積分布関数が不連続な時のみ

$f (x)$ と $p (x)$ は区別しない場合もあるが今回は累積分布関数と確率密度関数と確率関数を区別する

確率密度関数→累積分布関数

F (x) = \int_{- \infty}^{x} f (s) d s

F (x) = s \leq x \sum p (s)

区間確率

P r [a < X \leq b] = F (b) - F (a)

平均と期待値は違うらしい

平均値

μ_{x} = \int_{- \infty}^{\infty} x f (x) d x

μ_{x} = x = - \infty \sum \infty x p (x)

期待値

E (g (x)) E (2 X) E (a + b X) = \int_{- \infty}^{\infty} g (x) f (x) d x = \int_{- \infty}^{\infty} 2 x f (x) d x = \int_{- \infty}^{\infty} (a + b x) f (x) dx

E (g (x)) E (2 X) E (a + b X) = x = - \infty \sum \infty g (x) p (x) = x = - \infty \sum \infty 2 x p (x) = x = - \infty \sum \infty (a + b x) p (x)

これらを用いると累積分布関数は積分や総和で求まる

累積分布関数は

標本区間
→数直線上の区間/点列

確率密度関数は

$f (x) \geq 0$
$\int_{- \infty}^{\infty} f (x) d x = F (\infty) = P r [X < \infty] = 1$
- $lim_{x \to \pm \infty} p (x) = 0$

確率関数は

$p \leq p (x) \leq 1$
$\sum_{x = - \infty}^{\infty} p (x) = F (\infty) = P r [X < \infty] = 1$
- $lim_{x \to \pm \infty} p (x) = 0$

確率分布の中心から遠いところが裾

$lim_{x \to \pm \infty} f (x)$ や $lim_{x \to \pm \infty} p (x)$ が0へ収束する速度が裾の重さ
収束が遅い方が裾が重い

description	—
tags	確率論, 分布関数