20260619_3

20260612_3

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中間の解説はまだ先らしい

二項分布がメイン

幾何分布と超幾何分布は関係ないらしい

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$(a+b{)}^n$の係数が二項係数、二項係数はパスカルの三角形で計算できる

二項係数=\left(\begin{align}n\\ k\end{align}\right)=\dfrac{n!}{(n-k)!k!}= _{n}C_{k}

順列は${}_n{P}_k=\frac{n!}{(n-k)!}$

順列について、取り出した$k$この並べ方を同一とするため$\frac{1}{k!}$する

等比級数

$S_n=\frac{a_0-a_0(1+r{)}^n}{r}$

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二項分布(binomial distribution)

ベルヌーイ試行を繰り返し行う(回数は有限とする)

実験回数を$n$とする場合は$n$より多くても少なくてもいけない

$n$回のうち成功回数が特定の数になる確率

$p(x){=}_n{C}_x{p}^x(1-p{)}^{n-x}$

→それぞれのパターンに組み合わせの数を掛ける

コルモゴロフチェック

• $p(x)>0$となる
• 全確率は1となる
• 成功回数は互いに素

モーメント(平均と分散)

$E[X]=np$(互いに独立なベルヌーイ試行の和)

$$\begin{array}{rl}E[X]& =\sum _{x=0}^{n}xp(x)\\ & =\sum _{x=0}^{n}x\frac{n!}{x!(n-x)!}{p}^x(1-p{)}^{n-x}(1)\\ & =\sum _{x=1}^n\frac{n!}{(x-1)!(n-x)!}{p}^x(1-p{)}^{n-x}(2)\\ & =\sum _{x=1}^n\frac{n\cdot (n-1)!}{(x-1)!(n-1-(x-1))!}p\cdot p^{x-1}(1-p{)}^{n-1-(x-1)}(3)\\ & =n\cdot p\sum _{x=1}^n{}_{n-1}{C}_{x-1}{p}^{x-1}(1-p{)}^{n-1-(x-1)}(4)\\ & =np(p+(1-p){)}^{n-1}=np(5)\end{array}$$

💡 式変形の解説

1. 期待値の定義 $E[X]=\sum xp(x)$ に二項分布 $B(n,p)$ の確率質量関数 $p(x)={}_n{C}_x{p}^x(1-p{)}^{n-x}$ を代入
2. $x=0$ のとき $0\cdot p(0)=0$ なので和は $x=1$ からでOK。$\frac{x\cdot n!}{x!(n-x)!}=\frac{n!}{(x-1)!(n-x)!}$ と約分
3. $n!=n\cdot (n-1)!$、$p^x=p\cdot p^{x-1}$、$n-x=(n-1)-(x-1)$ と分解し、外に出せる $n$ と $p$ を1つずつシグマの外へ
4. $\frac{(n-1)!}{(x-1)!\{(n-1)-(x-1)\}!}={}_{n-1}{C}_{x-1}$ と整理。するとシグマの中身は「試行回数 $n-1$、成功確率 $p$ の二項分布 $B(n-1,p)$ の全確率の和」
5. 二項分布の全確率 ${\sum }_{x=1}^n{}_{n-1}{C}_{x-1}{p}^{x-1}(1-p{)}^{(n-1)-(x-1)}=(p+(1-p){)}^{n-1}=1^{n-1}=1$。よって $E[X]=np$

$V[X]=np(1-p)$($n$個の互いに独立なベルヌーイ試行の和)

$V[X]=E[X^2]-(E[X]{)}^2=E[X(X-1)]+E[X]-(E[X]{)}^2$ ← ポイント: $E[X^2]=E[X(X-1)]+E[X]$ の関係を使うと計算が楽になる

を用いる

$$\begin{array}{rl}E[X(X-1)]& =\sum _{x=0}^{n}x(x-1){}_n{C}_x{p}^x(1-p{)}^{n-x}(1)\\ & =\sum _{x=2}^n\frac{x(x-1)n!}{x!(n-x)!}{p}^x(1-p{)}^{n-x}(2)\\ & =\sum _{x=2}^n\frac{n!}{(x-2)!(n-x)!}{p}^x(1-p{)}^{n-x}(3)\\ & =\sum _{x=2}^n\frac{n(n-1)(n-2)!}{(x-2)!\{(n-2)-(x-2)\}!}{p}^2{p}^{x-2}(1-p{)}^{(n-2)-(x-2)}(4)\\ & =n(n-1)p^2\sum _{x=2}^n{}_{n-2}{C}_{x-2}{p}^{x-2}(1-p{)}^{(n-2)-(x-2)}(5)\\ & =n(n-1)p^2\{p+(1-p){\}}^{n-2}(6)\\ & =n(n-1)p^2(7)\end{array}$$

💡 式変形の解説

1. 定義通り $E[X(X-1)]=\sum x(x-1)p(x)$ に PMF を代入
2. $x=0,1$ のとき $x(x-1)=0$ なので和は $x=2$ からでOK。$\frac{x(x-1)}{x!}=\frac{1}{(x-2)!}$ と約分
3. さらに整理して $n!/(x-2)!(n-x)!$ の形に。この時点ではまだ $p^x(1-p{)}^{n-x}$ が残ってることに注意
4. $n!=n(n-1)(n-2)!$、$p^x=p^2{p}^{x-2}$、$n-x=(n-2)-(x-2)$ と因数分解
5. ${}_{n-2}{C}_{x-2}$ の形に整理 = 「試行回数 $n-2$ の二項分布」が見えてくる
6. シグマの中身は $B(n-2,p)$ の全確率 $=(p+(1-p){)}^{n-2}=1$
7. よって $E[X(X-1)]=n(n-1)p^2$

よって

$$\begin{array}{rl}V[X]& =E[X(X-1)]+E[X]-(E[X]{)}^2\\ & =n(n-1)p^2+np-(np{)}^2\\ & =np-n{p}^2\\ & =np(1-p)\end{array}$$

💡 最終計算

$$\begin{array}{rl}V[X]& =n(n-1)p^2+np-n^2{p}^2\\ & =(n^2{p}^2-n{p}^2)+np-n^2{p}^2\\ & =np-n{p}^2=np(1-p)\end{array}$$

つまり 二項分布 $B(n,p)$ の分散は $V[X]=np(1-p)$。ベルヌーイ試行 $\text{Ber}(p)$ の分散 $p(1-p)$ が $n$ 個分になってる

積率母関数 (Moment Generating Function)

$$\begin{array}{rl}{M}_X(t)& =E(e^{tX})\\ & =\sum _{x=0}^n{e}^{tx}{}_n{C}_x{p}^x(1-p{)}^{n-x}(1)\\ & =\sum _{x=0}^n{}_n{C}_x(p{e}^t{)}^x(1-p{)}^{n-x}(2)\\ & =(1-p+p{e}^t{)}^n(3)\end{array}$$

💡 式変形の解説

1. 積率母関数の定義 $M_X(t)=E(e^{tX})$ に PMF を代入
2. $e^{tx}{p}^x=(p{e}^t{)}^x$ と1つにまとめる
3. 二項定理 ${\sum }_{x=0}^n{}_n{C}_x{a}^x{b}^{n-x}=(a+b{)}^n$ において $a=p{e}^t$, $b=1-p$ と見ると一発！

📌 MGF の使いみち

• $M_X(t)$ を $t$ で微分して $t=0$ を代入すると積率（モーメント）が得られる
  • $E[X]=M_X^{\prime }(0)=np$
  • $E[X^2]=M_X^{\prime \prime }(0)=np+n(n-1)p^2$
• 独立な確率変数の和の MGF は MGF の積 になる性質がある（後で使う）