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幾何分布

互いに独立なベルヌーイ試行を繰り返してきた

一回$p$の方の事象が起こるまで続ける

$Pr[N=x]=(1-p{)}^{x-1}p$

平均は

$E[x]={\sum }_{x=1}^{\infty }xp(x)=p\sum x(1-p{)}^{x-1}$

$x(1-p{)}^{x-1}$は$x{q}^{x-1}$の微分になる

$\sum x(1-p{)}^{x-1}$は級数として取れる

…

$E[X]=\frac{1}{p}$

$V[X]=E[X(X-1)]+E[X]-\{E[X]{\}}^2$

二回微分やべき級数の和を利用する

…

$E[X(X-1)]=\frac{2(1-p)}{p^2}$

モーメント母関数は定義どおりに求めて

$M_X(t)=E[e^{tX}]$

…

$M_X(t)=\frac{p{e}^t}{1-(1-p)e^t}$

幾何分布は成功するまでの総回数$X$の代わりに成功するまでの失敗回数$Y=X-1$を使うケースもある

負の二項分布

幾何施行を$r$回繰り返す

平均について
$E[X_{1,1}]=E[X_{1,2}]=\cdots =E[X_{1,r}]=\frac{1}{p}$
よって$E[X]=\frac{r}{p}$
$V[X]$も同様に$\frac{r(1-p)}{p^2}$
$M_X(t)={\left\{\frac{p{e}^t}{1-(1-p)e^t}\right\}}^r$

ポアソン分布

ざっくりした説明

繰り返し発生する減少の単位時間ごとの発生回数を考える

• 機関の幅を狭めていくと、それぞれの期間には1回しか生じない
• それぞれの期間での確率が期間によらず均質である
• それぞれの事象の発生は互いに独立

→ポアソン分布は一定時間間隔でベルヌーイ試行を繰り返す現象の極限

二項分布のnが十分大きく、pが小さい状態

表が出る回数の期待値は$E[X]=np$を$\lambda$で一定として$n\to \infty$と$p\to 0$とおくと

$p(x)=P(X=x)=\frac{{\lambda }^x}{x!}{e}^{-\lambda }$

平均も分散も$\lambda$

ポアソン分布に従う確率変数が有限個あり、互いに独立な場合、パラメーターによらずそれらの和はポアソン分布に従う

多項分布

ベルヌーイの標本空間を3つ以上にする

試験には出ないらしい