20260615_1

20260608_1

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今回から電子回路

伝達関数: システムの入力と出力の比

$H=\frac{v_{out}}{v_{in}}$
→入力に$H$をかければ出力が求める

伝達関数はすべての初期値をゼロとしたときの入力のラプラス変換と出力のラプラス変換の比

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RC直列回路の周波数伝達関数(ローパス)

微分方程式→フェーザ法の流れ

①キルヒホッフで式を立てる：$v_{in}=Ri+v_{out}$
②コンデンサの性質：$i=C\frac{d{v}_{out}}{dt}$ → $v_{in}=RC\frac{d{v}_{out}}{dt}+v_{out}$
③フェーザ変換：$\frac{d}{dt}\to j\omega$で微分を消す！
→ $V_{in}=RC(j\omega V_{out})+V_{out}=(1+j\omega RC)V_{out}$
④伝達関数：$H(j\omega )=\frac{V_{out}}{V_{in}}=\frac{1}{1+j\omega RC}$

⚡ 微分方程式を解いてない！「微分→jωを掛ける」に書き換えただけ

微分方程式→$j\omega$への置き換えがすべて

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→よくわからない

さっきのフェーザ法と、このインピーダンス法は 同じもの

インピーダンスは $Z_R=R$, $Z_C=1/j\omega C$
分圧の公式そのまま：$V_{out}=V_{in}\times \frac{Z_C}{Z_R+Z_C}$

フェーザ法 = 微分方程式 → $j\omega$に置き換え
インピーダンス法 = 最初から抵抗・Cを複素数扱い ← こっちの方が楽！
どっちも同じ $H(j\omega )=\frac{1}{1+j\omega CR}$ にたどり着く

インピーダンスから周波数伝達関数を計算する

$Hj\omega =\frac{V_{out}(j\omega )}{V_{in}(j\omega )}=\frac{\frac{1}{j\omega C}}{R+\frac{1}{j\omega C}}=\frac{1}{1+j\omega CR}=\frac{1-j\omega CR}{1+(\omega CR{)}^2}$

振幅特性については

$\left|\frac{V_{out}(j\omega )}{V_{in}(j\omega )}\right|=\frac{\sqrt{1+(\omega CR{)}^2}}{1+(\omega CR{)}^2}=\frac{1}{\sqrt{1+(\omega CR{)}^2}}$
$\varphi =-{\tan }^{-1}(\omega CR)$

周波数が0に近づくと$H(j\omega )\to 1$となり、信号がそのまま通る
周波数が大きくなると$H(j\omega )\to 0$となり、信号が遮断される

位相→入力波に対する出力波のタイミングのズレ

$全体の位相=分子の位相-分母の位相$

$H(j\omega )=\frac{1}{1+j\omega CR}$

分子の位相は0、分母は複素平面で右に1、上に$\omega CR$進むベクトル

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RC直列回路の周波数伝達関数(ハイパス)

HPFの微分方程式→フェーザの流れ

①キルヒホッフ：$v_{in}=v_C+v_{out}$
②Cの電圧を表す：$v_C=\frac{1}{C}\int idt=\frac{1}{RC}\int v_{out}dt$
③代入：$v_{in}=\frac{1}{RC}\int v_{out}dt+v_{out}$
④両辺をtで微分：$\frac{d{v}_{in}}{dt}=\frac{1}{RC}{v}_{out}+\frac{d{v}_{out}}{dt}$
⑤フェーザ変換：$\frac{d}{dt}\to j\omega$
→ $j\omega V_{in}=\frac{1}{RC}{V}_{out}+j\omega V_{out}$
⑥伝達関数：$H(j\omega )=\frac{V_{out}}{V_{in}}=\frac{j\omega RC}{1+j\omega RC}$

⚡ LPFとの違い：分子に $j\omega$ がつく = 低周波をカット、高周波を通す

→キルヒホッフの法則から入力電圧と出力電圧の関係を表す微分方程式を求め、フェーザ法から周波数伝達関数を計算する

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こちらもインピーダンスから周波数伝達関数を求められる

$H(j\omega )=\frac{V_{out}(j\omega )}{V_{in}(j\omega )}=\frac{R}{R+\frac{1}{j\omega C}}=\frac{j\omega CR}{1+j\omega CR}=\frac{1}{1+(\omega CR{)}^2}[(\omega CR{)}^2+j\omega CR]$

振幅特性は

$\left|\frac{V_{out}(j\omega )}{V_{in}(j\omega )}\right|=\frac{\sqrt{(\omega CR{)}^4+(\omega CR{)}^2}}{1+(\omega CR{)}^2}$

$\varphi ={\tan }^{-1}\left(\frac{1}{\omega CR}\right)$

分子の位相が90度になる

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カットオフ周波数

フィルター回路がここから先を通さないとする周波数は入力電圧が$\frac{1}{\sqrt{2}}$倍になる(-3dB)

$$\begin{array}{rl}{f}_c& =\frac{1}{2\iota CR}\\ & =\frac{f}{2\pi fCR}\\ & =\frac{f}{\omega CR}\\ \omega CR& =\frac{f}{f_c}\end{array}$$

人間の感覚はだいたい$20{\log }_{10}$くらいらしい

$\mathrm{dB}=20{\log }_{10}\left|\frac{v_{out}}{v_{in}}\right|$

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伝達関数の位相特性

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RL直列回路(Rを出力にする) → ローパスフィルタ

微分方程式→フェーザ法の流れ

①キルヒホッフ：$v_{in}=v_L+v_{out}$
②コイルの性質：$v_L=L\frac{di}{dt}$、$i=\frac{v_{out}}{R}$ → $v_{in}=\frac{L}{R}\frac{d{v}_{out}}{dt}+v_{out}$
③フェーザ変換：$\frac{d}{dt}\to j\omega$
→ $V_{in}=\frac{L}{R}(j\omega V_{out})+V_{out}=(1+j\omega \frac{L}{R})V_{out}$
④伝達関数：$H(j\omega )=\frac{V_{out}}{V_{in}}=\frac{1}{1+j\omega \frac{L}{R}}$

⚡ RC直列のLPF（$H=1/(1+j\omega CR)$）と同形！

インピーダンス法でも同じ結果に

$H(j\omega )=\frac{V_{out}}{V_{in}}=\frac{R}{R+j\omega L}=\frac{1}{1+j\omega \frac{L}{R}}$

振幅特性・位相特性

$|H(j\omega )|=\frac{1}{\sqrt{1+{\left(\omega \frac{L}{R}\right)}^2}}$
$\varphi =-{\tan }^{-1}\left(\omega \frac{L}{R}\right)$

ω→0のとき：$j\omega L\approx 0$ → $V_{out}\approx V_{in}$（低周波を通す）
ω→∞のとき：$j\omega L\to \infty$ → $V_{out}\to 0$（高周波を遮断）
→ ローパスフィルタ

RCとRLの比較

RC直列：R出力=HPF、C出力=LPF
RL直列：R出力=LPF、L出力=HPF
なぜ？ → コイルは低周波でショート、高周波でオープンになる性質を持つから

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RL直列回路(Lを出力にする) → ハイパスフィルタ

微分方程式→フェーザ法の流れ

①キルヒホッフ：$v_{in}=v_R+v_{out}$
②抵抗の電圧：$v_R=Ri$、$i=\frac{1}{L}\int v_{out}dt$ → $v_{in}=\frac{R}{L}\int v_{out}dt+v_{out}$
③両辺をtで微分：$\frac{d{v}_{in}}{dt}=\frac{R}{L}{v}_{out}+\frac{d{v}_{out}}{dt}$
④フェーザ変換：$\frac{d}{dt}\to j\omega$
→ $j\omega V_{in}=\frac{R}{L}{V}_{out}+j\omega V_{out}$
⑤伝達関数：$H(j\omega )=\frac{V_{out}}{V_{in}}=\frac{j\omega \frac{L}{R}}{1+j\omega \frac{L}{R}}$

⚡ RC直列のHPF（$H=j\omega CR/(1+j\omega CR)$）と同形！

インピーダンス法でも

$H(j\omega )=\frac{V_{out}}{V_{in}}=\frac{j\omega L}{R+j\omega L}=\frac{j\omega \frac{L}{R}}{1+j\omega \frac{L}{R}}$

振幅特性・位相特性

$|H(j\omega )|=\frac{\omega \frac{L}{R}}{\sqrt{1+{\left(\omega \frac{L}{R}\right)}^2}}$
$\varphi =\frac{\pi }{2}-{\tan }^{-1}\left(\omega \frac{L}{R}\right)$

ω→0のとき：$j\omega L\approx 0$ → $V_{out}\approx 0$（低周波を遮断）
ω→∞のとき：$j\omega L\to \infty$ → $V_{out}\approx V_{in}$（高周波を通す）
→ ハイパスフィルタ

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高周波成分が低周波信号に紛れた場合はローパスを通すことで信号対雑音比を改善できる

フィルタ回路を使わなくてもフィルタする例

• 同軸ケーブル
  • 信号をノイズから守るために全体をシールド
  • →コンデンサのような振る舞いに