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注意

東京: $t$
埼玉: $s$
神奈川$k$
_は晴れである: $F$
_は曇っている: $G$
のとき

東京と埼玉は晴れである: $Ft\wedge Fs$

東京は晴れているか、埼玉は曇っている: $Ft\vee Gs$

東京は晴れているが、

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$\neg A$の$A$: スコープ(否定記号の有効な範囲)

例

$\neg Ft\wedge \neg Fk$(東京も神奈川も晴れではない)

$\neg (Ft\wedge Fk)$(東京は神奈川も晴れているというわけではない)

これらは否定記号のスコープの違いによって別の意味になる

東京か神奈川が晴れていない: $\neg Ft\vee \neg Fk$
東京も神奈川も晴れていたわけではない
東京も晴れていたというわけではない

条件法($\to$)

• 命題の含意関係
• $AならばB$を単に示すわけで因果関係や時間的な前後関係ではない

$\wedge ,\vee ,\to$などが混ざるとややこしい

結合の強さを決める

• $\neg$: 一番強い
• $\wedge \vee$: 二番目
• $\to$: 三番目

これから外れる場合はかっこをつける

$A\wedge B\to C$は$(A\wedge B)\to C$という意味

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量化詞

• $\exists$とか$\forall$とか
  いままで

graph TD
A[述語]<-->B[名前]

→存在の否定の時にうまくいかない
○○な人はいない←○○な人を想定しているが、そんな人はいないことを主張している
→→量化詞の導入
これから

graph TD
A[量化詞]<-->B[述語]<-->C[名前]

量化詞を導入

• 量化詞は述語と結びつく表現としてとらえる

$x$は永井荷風のことを好きだ: $Fx$
として
いる: $\exists x$とする

→永井荷風を好きな人がいる:$\exists xFx$
→永井荷風を好きな人がいない:$\neg \exists xFx$

これによってないものを想定しているという問題が解消される

すべての人は学生証をもっている: $\forall xGx$

量化詞

$\forall xA$: すべての$x$について$A$

$\exists xA$: $A$であるような$x$が存在する

ここで、$x$の範囲(議論領域)は何らかの形で定まっているものとする

$\forall x\neg Fx$と$\neg \forall xFx$は異なる

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束縛変項と自由変項

$\exists (Fx\wedge Gx)$と$\exists xFx\wedge Gx$について、前者は$\exists x$が$Fx\wedge Gx$にかかっているが後者は$\exists x$は$Fx$にしかかかっていない。

$\forall xA$の$A$を$\forall x$のスコープと呼ぶ。このとき$A$は量化詞$\forall x$によって束縛されているという。どの量化詞にも束縛されない変項が自由変項

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すべての学生が学生証を持っている
→すべての$x$について、$x$が学生であるならば、$x$は学生証を持っている
「ならば」が出現している

$x$が学生である: $Gx$
$x$が学生証を持っている: $Hx$
とすると
$\forall x(Gx\to Hx)$
($\forall x(Gx\wedge Hx)$では強すぎる)

論理学が得意な学生がいる
ある$x$があって、$x$は学生であり、かつ$x$は論英学が得意だ

量化文を記号化する

すべての$P$は$Q$である、$P$はみな$Q$である、どの$P$も$Q$である

→$\forall x(Px\to Qx)$

ある$P$は$Q$である、$Q$であるような$P$が存在する

→$\exists x(Px\wedge Qx)$

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次回:多重量化