20260717_3

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参考要素の強い、いろいろな分布を見ていく

• カイ2乗分布
• コーシー分布
• 対数正規分布
• $F$分布
• $t$分布
• ベータ分布

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区分的に単調な変換
$y=g(x)=x^2$の$x\to y$はそのまま変換できるが、$y\to x$は場合分けが必要

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カイ2乗分布

${\chi }^2$分布、${\chi }^2(n)$などとも

カイ2乗分布の解説

前提知識：区分的に単調な変換

$y=g(x)=x^2$ の変換を考える。$x_0=0$ を境に：

• $x<0$：単調減少
• $x>0$：単調増加

$X\to Y$（$y=x^2$）は1価関数（1つのxに対し1つのy）だが、逆変換 $Y\to X$ は場合分けが必要：

• $x\le 0$ のとき：$g^{-1}(y)=-\sqrt{y}$
• $x>0$ のとき：$g^{-1}(y)=\sqrt{y}$

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カイ2乗分布の導出

$X$ が標準正規分布 $N(0,1)$ に従うとき、$Y=X^2$ の分布を求める。

$Y$ の累積分布関数：
$\mathrm{Pr}(Y\le y)=\mathrm{Pr}(X^2\le y)=\mathrm{Pr}(-\sqrt{y}\le X\le \sqrt{y})$

$f_X(x)$ が $x=0$ で対称なので、
$F_Y(y)=2{\int }_0^{\sqrt{y}}{f}_X(x)dx$

ここで $x=\sqrt{y}$（$y=x^2$）と変数変換すると、
$dx=\frac{1}{2\sqrt{y}}dy$

よって、
$2{\int }_0^{\sqrt{y}}{f}_X(x)dx=2{\int }_0^y{f}_X(\sqrt{y})\frac{1}{2\sqrt{y}}dy={\int }_0^y{f}_X(\sqrt{y})\frac{1}{\sqrt{y}}dy$

$f_X$ を明記して計算すると、
${\int }_0^y{f}_X(\sqrt{y})\frac{1}{\sqrt{y}}dy={\int }_0^y\frac{1}{\sqrt{2\pi y}}{e}^{-y/2}dy$

これは ガンマ分布 $\Gamma (1/2,2)$ の累積分布関数 となる。

この分布を （自由度1の）カイ2乗分布 と呼ぶ。

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性質

ガンマ分布の性質から：

• $E[Y]=\alpha \beta =1$
• $V[Y]=\alpha {\beta }^2=2$
• $M_X(t)=\frac{1}{(1-2t{)}^{1/2}}$

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自由度 $n$ のカイ2乗分布

カイ2乗分布に従う確率変数が $n$ 個あるとき、$Y_1,\dots ,Y_n$ とし、互いに独立ならば：

$Y_1+\cdots +Y_n\sim f(x)=\frac{1}{\Gamma (n/2)2^{n/2}}{x}^{n/2-1}{e}^{-x/2}$

ガンマ分布では、尺度母数 $\beta$ が共通なら、和の分布の $\alpha$ は個々の分布の $\alpha$ の和となる。

右辺は $\Gamma (n/2,2)$ の確率密度関数。これを 自由度 $n$ のカイ2乗分布 ${\chi }^2(n)$ と呼ぶ。

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要約：カイ2乗分布とは

項目	内容
定義	標準正規分布 $N(0,1)$ の2乗変数の分布
自由度1	$X\sim N(0,1)$ のとき $X^2\sim {\chi }^2(1)$
自由度n	独立な ${\chi }^2(1)$ の和が ${\chi }^2(n)$
ガンマとの関係	${\chi }^2(n)=\Gamma (n/2,2)$
期待値	$n$（自由度に等しい）
分散	$2n$
記号	${\chi }^2(n)$ または ${\chi }_n^2$

コーシー分布の解説

なぜ比の分布を求めるのか

2つの確率変数 $X_1,X_2$ から $X_1/X_2$ の分布を直接求めるのは難しい。でも、$X_1$ と $X_2$ の同時分布から周辺分布を引くより、変数変換で一気にやった方が見通しがいい。

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2変数の変数変換：ヤコビアン

$(X_1,X_2)$ から $(Y_1,Y_2)$ への1対1の対応が：
$y_1=g_1(x_1,x_2),y_2=g_2(x_1,x_2)$

ここで定義される3つの条件：

1. 逆変換が存在する
2. 偏導関数が存在し、連続である
3. ヤコビアン $J$ が恒常的に0でない

ヤコビアンとは、変数変換がどのくらい「面積を拡大・縮小」するかを表す行列式だ。

$J(x_1,x_2)=\frac{\partial y_1}{\partial x_1}\frac{\partial y_2}{\partial x_2}-\frac{\partial y_1}{\partial x_2}\frac{\partial y_2}{\partial x_1}$

この $|J|$ の逆数を掛けることで、確率密度を正しく変換できる。

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比の分布への変換

$(X_1,X_2)$ から $(X_1/X_2,X_2)$ という変換を考える。これは：

• $Y_1=X_1/X_2$（比）
• $Y_2=X_2$（分母そのまま）

逆変換は：

• $X_1=Y_1\cdot Y_2$
• $X_2=Y_2$

ヤコビアンは：
$J=\left|\begin{array}{cc}{y}_2& y_1\\ 0& 1\end{array}\right|=y_2$

恒常的に0ではない。この変換は使える。

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標準正規分布からコーシー分布を導く

$X_1,X_2$ ともに $N(0,1)$ で独立。同時確率密度関数は：
$f(x_1,x_2)=\frac{1}{2\pi }{e}^{-(x_1^2+x_2^2)/2}$

変数変換して $Y_1=X_1/X_2$ の周辺分布を積分で求めると、最終的に：

$f(y_1)=\frac{1}{\pi (y_1^2+1)},-\infty <y_1<\infty$

これが コーシー分布 だ。

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期待値が存在しない

原点対称なのに、期待値 $E[Y]$ を計算しようとすると：

$E[Y]={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{y}{\pi (y^2+1)}dy$

この積分は発散する。$f(y)$ は対称だから $E[Y]=0$ とainenが、$\int |y|f(y)dy$ が有限にならないため、期待値は定義できない。

モーメント母関数 $M_X(t)=E[e^{tX}]$ も存在しない。

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でも平均は取れる？

特性関数 $E[e^{itX}]$ を調べると、興味深い結果が出る。

独立な同一のコーシー分布に従う確率変数 $X_1,\dots ,X_n$ の平均：
$\bar{X}=\frac{X_1+\cdots +X_n}{n}$

これも コーシー分布に従う。正規分布では中心極限定理で正規分布に収束するのに、コーシー分布ではそうならない。期待値すら定義されないのに、平均をとっても分布の形が変わらないという、ちょっと不気味な性質だ。

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別の導出ルート

$X\sim U(-\pi /2,\pi /2)$ のとき、$Y=\tan (X)$ の分布もコーシー分布になる。

$f(y)=\frac{1}{\pi (y^2+1)}$

「比の分布」として自然に現れるのと、「円周上の角をランダムに取ったときの正接の分布」として現れる。この二重性もコーシー分布の不思議なところだ。

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まとめ：コーシー分布の特徴

項目	内容
定義	$f(x)=\frac{1}{\pi (x^2+1)}$
由来	$X_1/X_2$（独立な標準正規変数の比）
対称性	原点対称
期待値	存在しない（積分発散）
分散	存在しない
モーメント母関数	存在しない
平均の分布	コーシー分布のまま（中心極限定理が働かない）
別の由来	$\tan (U(-\pi /2,\pi /2))$

対数正規分布の解説

何が起きるか

$X$ が正規分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ に従うとき、$Y=\exp (X)$ の分布を 対数正規分布 と呼ぶ。記号は $LN(\mu ,{\sigma }^2)$。

注意が必要なのは、この名前の読み方だ。「対数変換を施すと正規分布になる分布」であって、「正規分布の対数を取った分布」ではない。$Y$ そのものは正規分布に従わない。$\log Y=X$ という関係があるだけだ。

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なぜ「指数変換」なのか

正規分布をそのまま扱うと、値域は $(-\infty ,\infty )$ になる。でも現実の很多の現象は負にならない。収入も、サービス時間も、物体のサイズも、0以下にはならない。

$\exp$ をかけることで、正規分布の持つ「対称性」と「中心極限定理との親和性」を保ったまま、値域を $(0,\infty )$ に押し込める。この変換が起きる確率分布が対数正規分布だ。

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確率密度関数

変数変換 $y=e^x\iff x=\log y$ より、$dx=dy/y$ を使って：

$f(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}y}\exp \left(-\frac{(\log y-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}\right),y>0$

$\log y-\mu$ の二乗が分子にあるから、$\log y=\mu$（すなわち $y=e^{\mu }$）のあたりで峰值を持つ。分布は右に長い尻尾を引く。

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どこに出てくるか

大部分はあまり大きくないが、たまに大きい値が生じるような現象のモデルだ。

• 収入の分布
• 店舗のサービス時間
• 物のサイズ（生物の個体差など）

右に歪んだ分布。中央値は $e^{\mu }$ だが、平均はそれより大きい。大きな値が稀にでも混ざると、平均を引き上げる効果が強い。

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モーメントは計算できる

分散は $E[Y^2]$ を直接求めるより、$E[e^{tX}]$ から攻める方が簡単になる。

$E[Y]=E[e^X]=M_X(1)=\exp \left(\mu +\frac{{\sigma }^2}{2}\right)$

$E[Y^2]=E[e^{2X}]=M_X(2)=\exp \left(2\mu +2{\sigma }^2\right)$

よって、

$V[Y]=E[Y^2]-E[Y{]}^2=\exp (2\mu +{\sigma }^2)(e^{{\sigma }^2}-1)$

平均も分散も有限。$e^{{\sigma }^2}-1$ が ${\sigma }^2$ に比例する形で出てくる。

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モーメント母関数は存在しない

正規分布にはモーメント母関数があった。でも対数正規分布には存在しない。

$M_Y(t)=E[e^{tY}]={\int }_0^{\infty }\frac{e^{ty}}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}y}\exp \left(-\frac{(\log y-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}\right)dy$

この積分は収束しない。分布の右尻尾が指数的に減衰するより速く重いためだ。

コーシー分布と似ている。コーシー分布は期待値が定義できなかったが、対数正規分布は期待値も分散もある。ただモーメント母関数だけは使えない。モーメントの計算は特性関数か、直接の積分に頼る必要がある。

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まとめ：対数正規分布の特徴

項目	内容
定義	$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$ のとき $Y=e^X\sim LN(\mu ,{\sigma }^2)$
値域	$(0,\infty )$
形	右に歪んだ分布
期待値	$\exp (\mu +{\sigma }^2/2)$
分散	$\exp (2\mu +{\sigma }^2)(e^{{\sigma }^2}-1)$
モーメント母関数	存在しない
由来	正規分布に指数変換をしたもの

F分布の解説

何が起きるか

2つの確率変数 $X_1,X_2$ が互いに独立に、それぞれ自由度 $n_1,n_2$ のカイ2乗分布 ${\chi }^2(n_1),{\chi }^2(n_2)$ に従うとき、：

$\frac{X_1/n_1}{X_2/n_2}\sim F(n_1,n_2)$

カイ2乗分布の比を정리したものがF分布。$n_1$ は第1自由度、$n_2$ は第2自由度と呼ぶ。

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なぜ「自由度を割る」のか

カイ2乗分布 ${\chi }^2(n)$ は $n$ 個の独立な標準正規変数の2乗和だから、平均的に $n$ 付近の値を取る。$X/n$ にすることで、「1個あたりの平均的な2乗和」に正規化される。分子と分母の両方を割ることで、比としてのスケールを揃えている。

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導出の流れ

$(X_1,X_2)$ の同時確率密度関数は、${\chi }^2(n_1)$ と ${\chi }^2(n_2)$ の積：

$f(x_1,x_2)=\frac{x_1^{n_1/2-1}{x}_2^{n_2/2-1}}{2^{(n_1+n_2)/2}\Gamma (n_1/2)\Gamma (n_2/2)}{e}^{-(x_1+x_2)/2}$

ここで変数変換：

$Y_1=\frac{X_1/n_1}{X_2/n_2},Y_2=X_2$

逆変換は：

$X_1=Y_1{Y}_2\frac{n_1}{n_2},X_2=Y_2$

ヤコビアンは $n_1/n_2\cdot Y_2$。この変換で同時確率密度関数を書き直し、$Y_1$ の周辺分布を積分で求めると、最終的に：

$f(x;n_1,n_2)=\frac{1}{B(n_1/2,n_2/2)}{\left(\frac{n_1}{n_2}\right)}^{n_1/2}{x}^{n_1/2-1}{\left(1+\frac{n_1}{n_2}x\right)}^{-(n_1+n_2)/2}$

$B(\alpha ,\beta )$ はベータ関数。

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期待値と分散

積分から直接求めるのではなく、カイ2乗分布の性質から間接的に計算する。

$E[Z]=\frac{n_2}{n_2-2}(n_2>2)$

$V[Z]=\frac{2n_2^2(n_1+n_2-2)}{n_1(n_2-2{)}^2(n_2-4)}(n_2>4)$

$n_2$ が大きいほど $E[Z]\to 1$ に近づく。分子と分母の「1個あたりの平均的な2乗和」の比なのだから、本来なら1付近に集中してほしい。$n_2$ が小さいと分母の揺らぎが大きくて、平均からずれる。

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逆にひっくり返すと

$\frac{X_2/n_2}{X_1/n_1}\sim F(n_2,n_1)$

分子と分母を入れ替えると、自由度も入れ替わる。これはF分布の定義を正確に覚えておく必要がある箇所だ。

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まとめ：F分布の特徴

項目	内容
定義	$(X_1/n_1)/(X_2/n_2)$（独立なカイ2乗変数の比）
パラメータ	第1自由度 $n_1$、第2自由度 $n_2$
期待値	$n_2/(n_2-2)$（$n_2>2$）
分散	上記の式（$n_2>4$）
用途	分散の比の検定、ANOVA

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t分布の解説

何が起きるか

$X_1\sim N(0,1)$、$X_2\sim {\chi }^2(n)$ で独立のとき、：

$\frac{X_1}{\sqrt{X_2/n}}\sim t(n)$

分子は標準正規、分母はカイ2乗分布を自由度で割ったものの平方根。正規分布の標本平均を、標本標準偏差で割ったときに現れる分布だ。

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なぜこれが重要なのか

実際の統計では、母分散 ${\sigma }^2$ を知らない。知らないのに $Z=\bar{X}/(\sigma /\sqrt{n})$ を使うわけにはいかない。代わりに標本分散 $S^2$ で置き換えると：

$T=\frac{\bar{X}}{S/\sqrt{n}}$

この $T$ が従うのがt分布だ。母分散を知らないという「不確実性」が、分布の形に反映される。

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確率密度関数と性質

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{n}B(1/2,n/2)}{\left(1+\frac{x^2}{n}\right)}^{-(n+1)/2}$

項目	内容
期待値	$0$
分散	$n/(n-2)$（$n>2$）
$n\to \infty$	$N(0,1)$ に収束

自由度 $n$ が大きくなると、標本分散が母分散に近づき、t分布は標準正規分布に近づく。$n$ が小さいときは正規分布より「尻尾が厚い」。不確実性が大きい分、極端な値が起こりやすい。

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カイ2乗分布 → F分布 → t分布のつながり

• カイ2乗分布：標準正規変数の2乗和
• F分布：カイ2乗分布の比
• t分布：正規分布をカイ2乗分布の平方根で割ったもの

F分布はカイ2乗を2つ使い、t分布は正規を1つとカイ2乗を1つ使う。すべての土台にはカイ2乗分布がある。

ベータ分布の解説

何が起きるか

$X_1\sim \Gamma ({\alpha }_1,\beta )$、$X_2\sim \Gamma ({\alpha }_2,\beta )$ で独立のとき、：

$\frac{X_1}{X_1+X_2}\sim B({\alpha }_1,{\alpha }_2)$

ガンマ分布2つの和の中の比。尺度母数 $\beta$ が共通だから消え、形状母数 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ だけが残る。値域は $(0,1)$ になる。

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なぜ「和の中の比」なのか

F分布は $(X_1/n_1)/(X_2/n_2)$ と「比」だった。ベータ分布は $X_1/(X_1+X_2)$ と「和で割る」。この違いで、値域が $(0,\infty )$ から $(0,1)$ に変わる。

2つのガンマ変数のうち、全体の中でどれくらいの割合を占めるか。这就是ベータ分布が「割合」の分布と呼ばれる所以だ。

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確率密度関数

$f(x;\alpha ,\beta )=\frac{1}{B(\alpha ,\beta )}{x}^{\alpha -1}(1-x{)}^{\beta -1},0\le x\le 1$

$B(\alpha ,\beta )$ はベータ関数：

$B(\alpha ,\beta )={\int }_0^1{x}^{\alpha -1}(1-x{)}^{\beta -1}dx=\frac{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta )}$

$\alpha >\beta$ なら左に偏り、$\alpha <\beta$ なら右に偏り、$\alpha =\beta$ なら対称。$\alpha =\beta =1$ なら一様分布 $U(0,1)$ になる。

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モーメント

$E[X]=\frac{\alpha }{\alpha +\beta }$

$V[X]=\frac{\alpha \beta }{(\alpha +\beta {)}^2(\alpha +\beta +1)}$

$\alpha +\beta$ が大きいほど分散が小さくなる。$\alpha +\beta$ は「事前確率の強さ」を表すと解釈できる。ベイズ統計では、事前分布としてよく使われる。

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ガンマ分布からの導出

${\alpha }_1,{\alpha }_2$ を持つ2つのガンマ変数から、ベータ分布を導くには変数変換：

$Y_1=\frac{X_1}{X_1+X_2},Y_2=X_1+X_2$

逆変換：

$X_1=Y_1{Y}_2,X_2=(1-Y_1)Y_2$

ヤコビアンを計算して、$Y_2$ を積分で消すと、$Y_1$ の周辺分布がベータ分布になる。詳細な計算は省略されるが、思路はF分布と同じ——同時確率密度関数を書き直して、1つ积み消すだけだ。

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まとめ：ベータ分布の特徴

項目	内容
定義	$X_1/(X_1+X_2)$（独立なガンマ変数の和の中の比）
パラメータ	形状母数 $\alpha ,\beta$
値域	$[0,1]$
期待値	$\alpha /(\alpha +\beta )$
分散	$\alpha \beta /\{(\alpha +\beta {)}^2(\alpha +\beta +1)\}$
特殊ケース	$\alpha =\beta =1$ → 一様分布
用途	ベイズ統計の事前分布、確率の確率のモデル

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全体のつながり

1. カイ2乗分布：標準正規の2乗。土台
2. コーシー分布：正規の比。期待値なし
3. 対数正規分布：正規に指数変換。右に歪む
4. F分布：カイ2乗の比。分散の検定に
5. t分布：正規 ÷ √(カイ2乗/自由度)。母分散未知の検定に
6. ベータ分布：ガンマの和の中の比。割合のモデル

すべては正規分布とカイ2乗分布から始まっている。正規分布が2乗されたり、比にされたり、指数変換されたりして、いろいろな分布が生まれる。