20260710_3

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7/31には試験

正規分布/確率分布表/一様分布

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正規分布

世界で最もよく知られた確率分布らしい

$$f(x)=f(x;\mu ,{\sigma }^2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\exp \{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}\}$$

標本空間は任意の実数、母数空間は$(\mu ,{\sigma }^2)\in \Theta =\{(\mu ,{\sigma }^2):-\infty <\mu <\infty ,0<{\sigma }^2\}$

$f(x)$は$\mu$を中心(頂点)に左右対称

$E[X]=\mu$

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正規分布$N(\mu ,{\sigma }^2)$

$\mu =0,{\sigma }^2=1$とした標準正規分布

$${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-x^2/2}dx=1$$

左辺の被積分関数は確率密度関数になる

ここで$y=\sigma x+\mu$とすると正規分布$N(\mu ,{\sigma }^2)$を表せる

$\sigma$が大きくなると全確率が1だから山は小さく、$\mu$が大きくなると山は右に

変曲点と$\sigma$の関係がある

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正規分布の計算は二乗して2重積分にし、極座標変換($x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$)とヤコビアンで計算する

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正規分布のモーメント

標準正規分布から求めればいい

$f(x)$が$x=0$で対称なので$E[X]=0$という（対称性）

あるいは部分積分

$$\frac{d}{dx}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-x^2/2}=-x\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-x^2/2}$$ $$E[X]={\int }_{-\infty }^{\infty }xf(x)dx=-\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-x^2/2}{|}_{-\infty }^{\infty }-{\int }_{-\infty }^{\infty }0dx=0$$

分散は$E[X]=0$より$V[X]=E[X^2]$

$$E[X^2]={\int }_{-\infty }^{\infty }{x}^2\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-x^2/2}dx={\int }_{-\infty }^{\infty }x{\left(-\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-x^2/2}\right)}^{\prime }dx$$ $$=-x\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-x^2/2}{|}_{-\infty }^{\infty }-{\int }_{-\infty }^{\infty }-\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-x^2/2}dx=0+1=1$$

よって$V[X]=1$

以上より、$N(\mu ,{\sigma }^2)$の平均と分散は$E[Y]=\mu$, $V[Y]={\sigma }^2$

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正規分布のモーメント母関数

$$M(t)=E[e^{tX}]={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{tx}\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\exp \{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}\}dx$$

指数部を$x$について平方完成すると

$$-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}+tx=-\frac{1}{2{\sigma }^2}\{(x-\mu +{\sigma }^{2}t{)}^2\}+\mu t+\frac{1}{2}{\sigma }^2{t}^2$$

よって

$$M(t)=e^{\mu t+\frac{1}{2}{\sigma }^2{t}^2}$$

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正規分布の再生性

$X_1\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$、$X_2\sim N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$、$X_1\perp \perp X_2$ のとき

$$M_{X_1+X_2}(t)=M_{X_1}(t)M_{X_2}(t)=e^{{\mu }_{1}t+\frac{1}{2}{\sigma }_1^2{t}^2}{e}^{{\mu }_{2}t+\frac{1}{2}{\sigma }_2^2{t}^2}=e^{({\mu }_1+{\mu }_2)t+\frac{1}{2}({\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2)t^2}$$

より、$X_1+X_2$は平均${\mu }_1+{\mu }_2$、分散${\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2$の正規分布に従う

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正規分布表

確率分布$F$の累積分布関数を$F(x)$、求める確率を$p$と置くと

$$F(x)=p$$

を満たす$x$を、確率分布$F$の下側確率$p$の点といい$F_p^{-1}$と記す

正規分布については、$z=(x-\mu )/\sigma$と変換して参照できる標準正規分布$N(0,1)$の表がある

• $P[Z\ge z^{\ast }]=p$ を満たす確率点$p$を求める
• $P[Z\ge z^{\ast }]=\alpha$ を満たす点$z^{\ast }$を求める

これは正規分布の以下の性質に基づく

$$P[Z\ge z^{\ast }]=P[Z\sigma \ge z^{\ast }\sigma ]=P[Z\sigma +\mu \ge z^{\ast }\sigma +\mu ]=P[X\ge z^{\ast }\sigma +\mu ]$$

例: $z^{\ast }=1.96$ は $P[Z\ge z^{\ast }]=0.05$ を満たし、標準正規分布に対する両側5%点（片側2.5%点）

表は上側確率で与えられている（信頼区間に使うため）

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一様分布

ここでは連続確率分布

$$f(x)=\frac{1}{b-a}$$

区間は$[a,b]$で、$U(a,b)$

$F(x)=\frac{x-a}{b-a}$