20260518_1

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• 交流を扱うようになった

• 正弦波は$\cos$で表現される

• 三角関数は角周波数$\omega$が同じであれば一つの$\cos$関数に合成することが可能に

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合成信号の応答
$A(t)=A_{max}\cos (\omega t+\theta )$の微分は
$\frac{d}{dt}A(t)=-\omega A_{max}\sin (\omega t+\theta )$

ここで、ある系の応答を

$$\begin{array}{rl}\mathcal{L}\{A(t)\}& =\alpha A(t)+\beta \frac{d}{dt}A(t)\\ & =\sqrt{{\alpha }^2+{\beta }^2{\omega }^2}{A}_{max}\cos (\omega t+\theta +\Delta \theta )\end{array}$$

ただし、$\Delta \theta ={\tan }^{-1}\left(\frac{\beta \omega }{\alpha }\right)$

$$\begin{array}{rl}\hat{A}(t)& =A_{max}{e}^{j(\omega t+\theta )}\\ & =A_{max}\cos (\omega t+\theta )+j{A}_{max}\sin (\omega t+\theta )\\ & ={\hat{A}}_0{e}^{j\omega t}\\ & \\ {\hat{A}}_0& =A_{max}{e}^{j\theta }\end{array}$$

このときの$\hat{A}(t)$がフェーザ表示、${\hat{A}}_0$がフェーザ(振幅と初期位相の情報)
$A(t)=\mathcal{R}\{\hat{A}(t)\}$

足し算、引き算して加法定理で展開した後微積分すすよりも、複素関数の状態で処理して実部$\mathcal{R}$をとったほうが楽

$\hat{A}(t)={\hat{A}}_0{e}^{j\omega t}$の微分は

$$\frac{d}{dt}\hat{A}(t)=j\omega \hat{A}(t)$$ $$\begin{array}{rl}\mathcal{L}\{\hat{A}(t)\}& =\alpha \hat{A}(t)+\beta (j\omega \hat{A}(t))\end{array}$$

ベクトル図によって表現すると回転だけ、絶対値だけについて考えられる

フェーザ形式の大きさ=絶対値は$A_{max}$の代わりに実効値$A_e=\frac{A_{max}}{\sqrt{2}}$で表現される

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電流電圧に耐末う最大値のフェーザ表示を割り算して出てくる$Z$をインピーダンスとする

インピーダンスは時間変化しない定数

• 抵抗の場合は位相は変化せず、インピーダンスは$\frac{V_0}{I_0}=R$になる
• コンデンサーは蓄えられる電荷は$Q(t)=\int I(t)dt=\int I_0{e}^{j\omega t}dt=\frac{1}{j\omega }{I}_0{e}^{j\omega t}=CV(t)=C{V}_0{e}^{j\omega t}$で、インピーダンスは$Z_C=\frac{V_0}{I_0}=\frac{1}{j\omega C}$、水について考えると電圧の変化よりも電流が$\frac{\pi }{2}$先に変化
• コイルに電流が流れたときの磁束は$\Phi (t)=LI(t)=L{I}_0{e}^{j\omega t}=\int V(t)dt=\int V_0{e}^{j\omega t}$でインピーダンスは$Z_L=\frac{V_0}{I_0}=j\omega L$水について考えると電流の変化が電圧の変化より$\frac{\pi }{2}$だけ遅れる

コンデンサは周波数が大きいとインピーダンスが小さくなるが、コイルは周波数が大きいとインピーダンスが大きくなる
→ハイパス/ローパスになる